Về mặt lịch sử, từ "giải được" có nguồn gốc từ lý thuyết Galois và chứng minh của tính-không-giải-được-bằng-căn-thức của các đa thức bậc năm. Cụ thể hơn, một đa thức là giải được bằng căn thức khi và chỉ khi nhóm Galois của nó là một nhóm giải được[1] (lưu ý rằng định lý này chỉ đúng với đặc số 0). Tức là tương ứng với một đa thức f ∈ F [ x ] {\displaystyle f\in F[x]} , ta có một dãy các mở rộng trường

F = F 0 ⊂ F 1 ⊂ F 2 ⊂ ⋯ ⊂ F m = K {\displaystyle F=F_{0}\subset F_{1}\subset F_{2}\subset \cdots \subset F_{m}=K}

sao cho

1. F i = F i − 1 [ α i ] {\displaystyle F_{i}=F_{i-1}[\alpha _{i}]} với α i m i ∈ F i − 1 {\displaystyle \alpha _{i}^{m_{i}}\in F_{i-1}} , tức là α i {\displaystyle \alpha _{i}} là một nghiệm của phương trình x m i − a {\displaystyle x^{m_{i}}-a} với a ∈ F i − 1 {\displaystyle a\in F_{i-1}}
2. F m {\displaystyle F_{m}} chứa một trường phân rã của f ( x ) {\displaystyle f(x)}

Ví dụ

Mở rộng Galois nhỏ nhất của Q {\displaystyle \mathbb {Q} } chứa phần tử

a = 2 + 3 5 {\displaystyle a={\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}}}

cho ta một nhóm giải được. Các mở rộng trường tương ứng là

Q ⊂ Q ( 2 , 3 ) ⊂ Q ( 2 , 3 ) ( e 2 π i / 5 2 + 3 5 ) {\displaystyle \mathbb {Q} \subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\subset \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})(e^{2\pi i/5}{\sqrt[{5}]{{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}})} .